平行な面に現れる切り口が平行になる理由
松谷です。
ふと思いついた算数、数学の問題について書こうと思います。
立体を、ある平面で切断するときの切り口について考える問題では、
①同一平面上の通る点は直線でつなげる。
②平行な面に現れる切り口の直線は互いに平行である。
③よくわからないときは、切断面に含まれる直線を延長して、それが、軸の延長や平面と交差する点を考える。
という３つが重要でした。
ここで、2つめの
②平行な面に現れる切り口の直線は互いに平行である。
については、基本的に当たり前ですね。みたいな扱いを受けます。
当たり前すぎて誰もなんでなのか説明してない気はします。
ただ、僕としては当たり前な感じがしなかったので、いろんな説明はあると思いますが、自分が考えたやり方で説明してみます。
まず、確認ですが、
平行な面とはどこまでいっても交わらない面のことです。
平行板コンデンサーみたいな。
そのうえで、
切断面において、
平行な面であるならばそこに現れる切り口は平行である。
ということを示せばいいということですが、背理法の考えで説明したいと思います。
即ち、
平行な面であるときに、そこに現れる切り口が平行ではなかったとして矛盾を導くということです。
切り口の直線が平行ではない場合、それらはもちろん同じ切断平面上にありますから、どこかで切り口の線は交わってしまいます。(同一平面上にある平行でない2直線は交わる。)
線が交わるということは、面が交わるということを意味しています。
しかし、平行な面を考えていましたのでそれらは交わらないはずですので、矛盾しています。よって、題意は示されたわけです。
なんだか、騙されたように感じてしまうかもしれませんがね。。。
まあ、
切り口が平行だからといって、必ず、平行な面になるわけではないですが、
平行な面ならば、切り口は必ず平行であります。
このあたりが、少し高校数学の論理っぽいなと思ったので、少し説明してみました。
背理法でも対偶証明法でも同じことになりますが。