立方体を平面で切断したときの切り口
松谷です。
さて、学校の定期テストの内容を、質問されました。
立方体を平面で切断したときの切り口についてでした。
まぁ大学受験には個別のテーマとしてでることはあまりなく、中学受験とか高校受験ででたりすることが多いです。
なので、授業で解説する機会もあまりなく、出ても、当たり前ですよねって感じになってしまうのですが、苦手な人も多かったりもしますので、ちょっとだけ触れてみたいと思います。
(うーん、書いてみて思いましたが、保護者様は興味ない話ですね。。。)
まぁ、感覚的なものについては、こんにゃくなり、豆腐なり、大根なりを、包丁で切断したりする機会があれば、なんとなくわかってくると思いますので、それは各ご家庭に任せるとしまして、
いちおう、方法論について述べたいと思います。
大事な考え方が3つくらいあります。
この3点を通る切り口を考えるときを考えてみましょう。
まぁ簡単でしたね。
ここでは、
①同一平面上の通る点は直線でつなげる。
という考えを使ってやることで、解決がはかれます。
こんな感じでした。
さて、次にこの3点を通る直線を考えてみます。
まさか、こんな感じで真ん中の線をつないで満足しないでくださいね。
切り口は、必ず立体の表面上に現れますからね。これを切り口だといってはいけません。その中を通る直線も切断面には含まれますがね。
そして、まあだいたいの人はなんとなくこうなるなというのが分かっているとは思いますが、言葉でいうと、
②平行な面に現れる切り口の直線は互いに平行である。
という感じです。するとこうなりますね。
四角形ができまして、向かい合う辺が互いに平行ですから、平行四辺形ですね。
次に、この3点を通る点を考えてみましょう。
さて、今度は、これを考えてみましょう。
今度は少し難しくなります。
まぁ、今までの２つのポイントを使うと、ここまでは簡単だと思います。
ただ、ここからちょっと困るのではないでしょうか。
そこで、大事なポイントがあります。
③よくわからないときは、切断面に含まれる直線を延長して、それが、軸の延長や平面と交差する点を考える。
です。結構、テクニカルなのですが、やり方や理由とともに、この例で見てみます。
つまり、
このように直線を延長してやると状況が見えてくるわけです。直線上の点はどこまでいっても、切り口の同じ平面上にあります。そして、上の点Sも当然切り口の平面上にあります。さらに、Pも同一平面上にあります。そうすると、うおっ！SとPをつなげるじゃないか！というわけですね。
あとは、流れでいけます。
一応、注意点としては、ほんの少し最初の点の位置がずれていると、切り口の図形が変わってくることに気をつけてください。
こんな風な感じです。
さて、最後に最難関パターンを考えてみましょう。
同一平面にあるから直接結べるという直線が１つもないパターンです。
困りましたね。
これも結局、③の技術を使います。
③よくわからないときは、切断面に含まれる直線を延長して、それが、軸の延長や平面と交差する点を考える。
このうちの、平面と交差する点を考えるパターンを使います。さらに、延長するための、切断面に含まれる直線としては、立方体の中を通る直線を選ぶしかありません。
そうすると、この図からは正確にわかりませんが、天板の平面と交差する点が一点どこかにとれるはずですね。
そうすると、その交点は、もう１つの点と同一平面になるわけですね。あとは、流れでいけます。
なかなか難しいですね〜。まぁただパターンといえば、パターンですかね。
あと、3つのパターンとは、違いますが、切り口そのものではなく、長さなどを求めたいときに、
切断方向真横から切断面を見たら一直線に見えるとか、展開図を利用するなどの見方をすることもあります。
積分の問題とかで、円柱を角度45度とかに切断して体積を求める問題とかを、考える場合には真横から見て一直線に見えるという考えをよく使いますね。
あとは、長さを求めるというか、座標を求めてしまうという技もありますね。
一直線上にない3点を通る平面は１つにきまりますから、平面の方程式を求めてしまえば、切り口の点の座標や直線の式を求めることもできますね。そうすると、高校生らしい話にもなりますね。
長くなりました。
記事を分ければよかった。。。