y=a^xのグラフって
松谷です。
たまには数学の話題でも。
この前指数関数のグラフについての説明をしていたんですね。
そこで、ふと思ったんですね。
a>1のときの
y=a^xのグラフってこう書きがちですよね。
でも、本当は少し見た目が違う場合ありますよね。
つまり、
y=a^xのグラフとy=xのグラフの位置関係が、
重なってる場合もあるんじゃないの？ってことです。
それによって、y=xで折り返したグラフも随分と違いますからね。
で、このようなグラフになるのはaが小さければありそうですね。
であれば、その境目はいつかというのは気になりますよね。
つまり、接しているような状況のときのaはいくつかと。
グラフが接しているという話を解の話に読みかえて考えてみますかね。
つまり、a^x=xを考えると。
このままじゃ考えづらいので、両辺正ですから対数をとってみると、、
ちょっと面倒な計算を経て(y=a^xでの接線が原点を通るときの直線がy=xと一致するなどとしたりもっと簡単な方法もいくつかあると思いますが)、
a=e^1/e
という値が出ました。
めでたしめでたし。
とはならないわけですね。
eの1/e乗っていくつくらいの値やねんと。
eが2.718・・・という値であることは知られています。
しかし、その値では計算がやりきれないですね。。。
2.7＜e＜2.8を使いつつ、地味にやるか。。
パッと思いつくのは、大学数学と高校数学の間くらいの知識ですが、e^xなどの関数を整関数で近似する手法であるマクローリン展開の
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+・・・というやつを途中でちょんぎって、
e^x>1+x+x^2/2!+x^3/3!として、xに1/2.8とかを当てはめてみますか。そうしたら、1.42以上であることはなんとかわかりますが、、人力では厳しいな。。
1.5未満であることはなんとなく予想されるので、それを示してみますか。う～んと今度は趣向を変えて面積評価みたいな感じでやってみます。
1/3のところでちょんぎってより大きい面積を考えたという感じですね。
めでたく示されました。
しかし、手計算だと評価が荒いですね。
そして、あきらめて電卓をたたいてみると、、、
e^1/e=1.444667…みたいな感じのようです。
ふーん。
おしまい。