アリストテレスの輪のパラドックス
松谷です。
小さい子がなんとか全員東大京大の数学の問題を考えられるくらいになることはできないのか？よい数学的な頭の鍛え方はないか？などと思案しながら、ネット上で見つけた算数のパズル問題です。
アリストテレスの輪のパラドックスという問題です。
大きな円と小さな円は同心円です。大きな円がAからA’まで回転したとき、その長さは大きな円の円周に等しくなります。このとき、BもB’まで回転するので、A⇒A’とB⇒B’の長さは等しくなりますが、すると小さな円の円周と大きな円の円周とは等しい長さということになり、矛盾が生じます。これはどのように説明できるでしょうか。
まあ、不思議な感じですよね。
でも、数3でこんな感じの構図がよくあるので、とりあえず図を描いてみました。
数3のサイクロイドを描くときによくある構図でポイントは少し転がしたところを描くと様子が把握できます。
転がった角をθとすると、
小さい円の方は、転がってるのは、3rθとなる一方、扇型の弧の長さはrθとなっています。あれっ変だなと。
たぶん、外側の円は滑らずに転がっている状況だとしてと、内側の円は滑りながら転がっているんじゃないかという予測が立つわけですね。
でも、円のままだと滑って転がってる様がイメージしにくいわけですね。
そこで、円は無限の多角形だと考えつつ、実際はもう少し少ない多角形を試しに考えてみるわけですね。
気になる方は、続きは調べてみてください！
下のような感じです！
