数学的帰納法で遊ぼう!

松谷です。

昨日はバレンタインデーだったんですね。全く気づいてませんでした。。

バレンタインデーは一部のリア充のためのイベントですね。へんっ。

ということで、非リア充の方はせっせと数学でもしましょう。

 

さて、いくつになっても新しい道具を手に入れたときはひとは、わくわくするものですね。

数学でも、そんな道具の一つに、数学的帰納法というものがあります。

何やらかっこいい名前ですね。そんな名前のせいもあって、男子校生に中二病を発動させる大人気アイテムです。「くらえ、数学的帰納法!」「うっ、証明されてしまった。。」といった具合です。あほですね。

 

さて、そんなあほは置いておいたとしても、数学的帰納法はとっても便利な道具です。

 

数学的帰納法とは、

「自然数nなどに関する何らかの命題Aを証明するための道具」で、基本は「n=1のときAが成り立つことを示す。→n=kでAが成り立ってるとした場合n=k+1の場合もAが成り立つことを示す。→n=1で成り立つからn=2で成り立つ。だから、n=3で成り立つ。n=4で成り立つ。……すべてのnでAが成り立つ。」

 

といったドミノ倒しのような構造をした、証明方法です。いろんなバリエーションはありますが基本はこれです。

これを使って世の中の事象を考えてみましょう!

今回は、

「斎藤さんはハゲである」ということを証明したいと思います。

ここで前提として、斎藤さんは5000本の髪をもっているとします。

まず、問題文を言い換えます。

「5000本の髪を持つ男はハゲである」

これを証明できればまぁだいたいよさそうですね。

さらに、もし、「n本(nはすべての自然数)の髪を持つ男はハゲである」・・・(*)を示せればもう余裕ですね。

 

第1段階:n=1のとき、すなわち1本の髪を持つ男を考えます。

これはもうハゲですね。ナミヘイさんはハゲですし、二本くらいありそうなお化けのQ太郎ですらハゲですし、これはもう明らかですね。

よって、n=1のとき(*)は成立します。

おっ調べてみたら3本でしたね。

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第2段階:n=kのとき、すなわちk本の髪を持った男がハゲだと仮定します。

そのときk+1本の髪をもった男を考えます。

ここで、k本の髪を持ったハゲの男に、1本の髪を植毛します。

するとハゲでなくなるでしょうか?それは、もうアデランスかアートネイチャーの回し者でもない限り、そんなことは言えないでしょう。

よって、k+1本の髪をもった男がハゲであることもわかりました。

すなわち、「n=kのとき(*)が成立すると仮定したとき、n=k+1のときも(*)が成立する」

ことがわかりました。

 

 

第3段階:よって、第1段階と第2段階より、

n=1本の髪の男がハゲで、1本増えてもハゲがわかったので、n=2本の髪の男もハゲで、

n=2本の髪の男がハゲだから、n=3本の髪の男もハゲで、・・・・

とやっていくと、「n本(nはすべての自然数)の髪を持つ男はハゲである」ということが証明できました。

もちろん、n=5000を代入して、5000本の髪を持つ斎藤さんもハゲであることがわかりましたね。

 

 

めでたしめでたし。

あれっ、この理論で行くと、世の中の人全員ハゲですね?!

どこかで前提を間違ったということでしょうね。まぁ、全員ハゲの方が幸せなので、そこはあまり追及しないことにしておきましょう。

ではでは。