見えないぐらいにスリムになった真下さん
八幡でテニスをして来ました。
左からドラゴンさん、私真下友也君、酒井さん、藤谷君です。
あれっ？
真下さんがいないやん！
どうも、スリムになったことを証明するために私の陰に隠れているようです。
今日の成績は、真下さんとドラゴンさんにともに 4-1 で勝ちました。
そのほかは友也君にフォアで打ってもらいました。
いや～ぁ、
すごいですねぇ！
友也君の球は、私の感覚ではアウトに見えるのです。
でも、ベースラインから 1m ぐらい手前ぐらいまでの範囲にぐぐっと落ちるわけです。
それで聞いてみました。
そんなにぎりぎりのところに飛んで、アウトしたかなと思わないのかと。
そうしたら、
その辺に落ちると思って打っているから、全然ひやっとした感覚はないとのことでした。
う～む、
まるでコントロールのレベルが違うんですねぇ …。
ところで、先日書いたトランプの問題、解けました。
2n 枚のトランプの下半分を上半分の間に入れて行くと
上１２３４５６下→上４１５２６３下
この作業を何回かすると元の順列に戻るわけですが、これが何回後かという問題でした。
まず、この操作をすると、2n-1 を法として等差数列をなします。
たとえば上の 上１４２５３６下 なら2n が８なので、７を法として、つまり７で割った余りについて４を公差とする等差数列になっているのです。
これを数学的帰納法で示します。
さらにこの操作を何回繰り返しても一番上の数と一番下の数は変わりません。ですから、上から2番目の数に注目すると、k 回目の操作後であれば n^k と合同になり、かつこのときの等差数列の公差が n^k になっています。（これも数学的帰納法で簡単に示せます）
上の例だと８の半分は４で、1回操作後では上から2番目は４ですが、もう1回すると
上４１５２６３下→上２４６１５３下
となり、上から2番目の２は４の２乗の１６と７を法として合同で、この数列は公差が２の等差数列です。
ということは、n^k が１と合同になるとき、この数列は公差が１の等差数列になるので、元の順列を復元することになります。
つまり、上の例だと 4^k が７を法として最初に１と合同になるときを考えて、4^3=63 が７を法として１と合同ですから、3回目に元に戻るということです。
とすると、2n-1 が素数になるとき、フェルマーの小定理により n^(2n-2)≡1(mod 2n-1) ですから、2n-2 回で元に戻るのです。
いや～ぁ、
楽しかったですねぇ！
昨日はテニスの疲れを癒すために一日ごろごろしながら、この問題に取り組みました。
そして遂に夕方ぐらいに、証明を見つけたのです。
イエ～ィ！