京大理系数学-2025年　大問1‐2（定積分）　解答と解説

問題

小問集合の2つめは定積分の計算であった。定積分の単純な計算は、京大のような難関大では出ないと思い込んでいる高校生もいるかもしれないが、今年だけでなく最近では2023年や2019年でも同様に小問集合で出題されているので心構えをしておく必要がある。東大の微積分の問題は大変であることが多いが、京大の微積分の問題はシンプルであまり大変でないことが多いので、試験本番で解けないと、他の受験生に後れを取っているのではないかと焦ることになるだろう。また、定積分の問題においては答えの数値があっているかが非常に重要である。計算ミスをしないように、普段の学習から気を付けておきたい。

京都大学のホームページに掲載されている理系数学の出題意図を見てみると、問2について「数学IIIで学習する積分法についての理解と計算力を問うた。」とある。問題自体はいずれも簡単であったが、受験生の積分の分野への理解を問うには十分な難易度だったと思う。

特に過去にも問われている部分積分(2023年、2019年、2012年、対数が絡む問題が多い)、置換積分(2025年、2011年)、三角関数の公式の活用(2025年、2019年)といった典型的な内容については徹底的に対策を練っておこう。また、小問集合の形ではなかったが、二つの方程式のグラフに囲まれた図形をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めさせる問題も2015年に出題されている。教科書レベルを逸脱しない標準的な内容になっているので、一度解いてみて入試で要求されているレベルを知っておくようにしたい。

具体的な方針

（i）「困難は分割せよ」とはデカルトの言葉であっただろうか。これは積分の基本といえる。つまり、まずは分数二つに分割する一手である。すると前半部分はx²+1の微分である2xの係数が変わっただけのxがついているので簡単に積分できる。後半部分は分子の次数を整式の割り算で下げてみる。ｘをtanθの形で置換すると積分が可能になる方法は受験生の大半が見た瞬間に思いついたと思うが、下処理をした方が計算が楽であるように感じる。(ii)と比較して解法は思いつきやすかったのではないだろうか。

（ii）三角関数の半角の公式を活用できるかというところが問われている問題であった。実際、それさえ気が付けば計算は少しも大変ではない。もしかしたら、分子と分母に√（1-cosθ)を掛けるような方法も思いついたかもしれないが、実はその場合においては最終的に代入することができなくなってしまう(具体的にできない理由については解答下にある補足を参照のこと)。ということで三角関数の公式はしっかりと押さえておくようにしよう。

解答

補足