円錐面の方程式、円錐曲線

松谷です。

円錐曲線というのがあります。

円錐を切ったときに切り口に現れる曲線のことで、二次曲線の3つが現れることが知られています。

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こんな感じですね。

3つの二次曲線、すなわち楕円と、放物線と、双曲線のことです。円錐を砂時計みたいに上にひっくり返してつけたら、双曲線のもう片方も現れますが、省略します。まず、この3つの2次曲線がどういう切り方をしたときに出てくるかという知識を持っているだけで、問題の見通しが良くなることもあるので、大事な知識です。

 

しかし、たいていの人は、円錐を切ったらなんで、その曲線が出てくるのかということを不思議に思ったことがあると思うのです。数3まで学んだ人ならば。そして、稲荷の独習数学では、図形的に見事にその理由を解き明かしていて、向学心溢れる生徒さんはきっと感心したと思うのです。

 

まぁ、それなので、僕が語ることはあんまりないのですが、まあ、方程式で考えるならどうなるかというのもたまに誘導つきで大学入試のテーマとして出てきますので(東大とか阪大とか早稲田とか)、少し書いてみたいと思います。

 

というか、なんか塾の宣伝や、英語の勉強法ばかり話している気がして、数学の先生と思われていないような気もするので、少し数学の話題に触れたくなっただけですね(笑)

 

さて、で、

円錐曲線の方程式を考えていきます。方程式で考えるにしてもいくつか方針がありますが、

 

そのうちの1つの方針は少し高度な知識を利用していくという方針です。高度な知識とは円錐面の方程式を利用するということです。(高度な知識を利用しない方針もありますが、途中で出てくる考え方は重要なので、やはり知っておいた方が得だと思います。)

 

ということで、まずは、円錐面の方程式を考えてみたいと思います。

このような円錐を考えてみましょう。

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円錐面の方程式を求める方針は大きく2つあります。

まず、1つめの方針は誘導ありで、何回か大学入試に出題されているのを目にしたことがあります。

方針①は、円錐を三角形が回転したものであると考えていくということです。

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そして、xy平面に平行な平面でします。z=tとかですね。そうするとどうなりますかね。

 

そうですね。もちろん、切り口に円が現れます。そして、その円周上の点は、もちろん、円の中心から半径という一定距離のところにありますね。

それで、円錐面上の点を(x,y,t)とでもおいて、切り口の円の中心(0,0,t)との距離が半径で一定ということを立式するわけです。

その際、半径を出すときには、相似な三角形を利用するのが1番速い方法となります。

なんとか、円錐面の方程式が出ましたね。

 

 

さて、2つ目はより知識偏重な方針だと思いますが、紹介します。

方針②は、母線と円錐の中心軸がなす角が常に一定であることを、内積を用いて立式する!という方針です。

なかなか、知らないと無理な方針だと思いますので、誘導がない限り高校生はお目にかかりにくいでしょう。

円錐面上の点(x,y,z)とおいて、上記の内容を立式していきます。

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内積の定義式から、cosが内積と大きさを用いて表せるのは大丈夫ですよね。

成分表示されている場合、内積はかなり計算しやすいですね。

そうすると割とあっさり円錐面の方程式が出ましたね。

さて、これを利用すると、円錐曲線の方程式があっさり出たりします。たとえば、1番簡単な例だと、yz平面に平行な面で円錐を切断します。即ちx=tなどで切断します。それは、x=tを代入するということですね。tが定数であることを意識すると、、、なんかできそうですね!!

 

疲れたうえに、誰も読んでない感が満載な記事なので、、、別の方針も含めた残りはまた、時間ができたときに書きます(笑)

 

続きが気になる人は直接お声がけくださいませ!

 

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“円錐面の方程式、円錐曲線” への5件のフィードバック

  1. 鈴木龍太郎 より:

    稲荷先生

    はじめまして。

    神奈川県に住んでおります高校2年の鈴木と申します。

    先生のブログ(2018年1月25日)の図がどうしても表示されず困っております。もしよろしければメールにていただくこと叶いませんでしょうか・・

    また、円錐曲線や離心率について興味がございまして、ぜひ続編も拝読したいと切に願っております。

    お忙しいところ申し訳ございません。
    どうかよろしくお願いいたします。

    ご連絡、心よりお待ちしております。

    鈴木龍太郎

    • 松谷 より:

      鈴木さん
      こんにちは。ブログを読んでくださりありがとうございます。
      残念ながらブログに貼り付けていた画像は削除されてしまったようで、実際に書いてた紙もすぐ捨ててしまったようです。すみません。。
      もし、見つかったらメールでお送りしますね。
      離心率などについてお知りになりたい場合は、稲荷の独習数学を参考にしてみてください。
      円錐曲線については、インターネットのサイトで結構載っているとも思いますので、それも参考にしてみてください。高校数学の美しい物語、受験の月などなど。

  2. 鈴木龍太郎 より:

    稲荷先生

    おはようございます!

    早速のご返信ありがとうございます!
    円錐曲線や離心率について、いろいろなホームページで調べてはきたのですが、どうにもしっくりこず・・・

    先生の続編ふくめて、心待ちにしております!
    貴重なお時間を割いていただき、本当にありがとうございます!

    • 松谷 より:

      鈴木さん
      すみません。実は僕は稲荷先生ではなく、稲荷塾で働いている講師の松谷と申します(笑)稲荷塾は数学講師2人でやっております。
      当該記事は僕が書いていたものだったので、僕から返事させてもらいました。
      確かに円錐曲線の記述はインターネットサイトはたしかに何かしっくりこないですよね。そんなのもあり基本から書いたんですね。消えてしまいましたが。。。どこかに、元の紙があると思いますので、見つかればメールでお送りしますね。では失礼します。

  3. 鈴木龍太郎 より:

    松谷 先生

    お忙しいところ、ありがとうございます!

    すみません、先生のお名前をよく確認しておりませんでした・・><

    見ず知らずの私に温かくご対応くださり、松谷先生の真心に感銘を受けております。ありがとう、を何度も言わせてください!

    ご連絡、心よりお待ちしております!

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